Trigonométrie
Ce que tu vas travailler
Passer d'une expression à son domaine, sa courbe et son comportement.
Prérequis : Savoir transformer une expression et résoudre une équation.
Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.
Projeter un poids sur un plan incliné, décomposer une force, décrire une onde qui oscille : à chaque fois, c'est un sinus ou un cosinus qui fait le travail. La trigonométrie est l'outil de service de toute la physique du concours.
Deux entrées à maîtriser : le triangle rectangle pour les projections, le cercle pour les oscillations.
Sommaire du cours
1Le triangle rectangle : SOH-CAH-TOA
Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu α définit trois rapports de côtés — les fameux sinus, cosinus et tangente :
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long, face à l'angle droit. L'opposé et l'adjacent dépendent de l'angle choisi : le côté opposé de α est l'adjacent de l'autre angle aigu, et inversement.
Le bon réflexe de calcul
Repère d'abord ce que tu connais (un côté ? deux ?) et ce que tu cherches. Le rapport qui contient ces deux longueurs te donne directement l'équation à résoudre — une seule formule suffit à chaque fois.
Pour le futur médecin
En physique du concours, la trigonométrie sert à projeter : une force F inclinée d'un angle α se décompose en F·cos α (horizontale) et F·sin α (verticale). C'est le geste de base des plans inclinés, des tractions et de la biomécanique articulaire.
🧩 Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 et un angle vaut 30°. Que mesure le côté opposé à cet angle ?
Facile🧩 Une rampe d'accès fait un angle de 30° avec le sol et sa longueur (l'hypoténuse) vaut 6 m. Quelle hauteur atteint-elle ?
Intermédiaire2Le cercle trigonométrique et les radians
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Pour un angle θ mesuré depuis l'axe des x, le point du cercle a pour coordonnées exactement :
Cette définition prolonge sinus et cosinus à tous les angles — même au-delà de 90°, même négatifs. Les signes se lisent sur le cercle : cos θ suit l'axe horizontal (positif à droite), sin θ l'axe vertical (positif en haut). Sur le cercle, l'unité naturelle est le radian : la longueur d'arc parcourue sur le cercle de rayon 1.
Fais tourner le point et observe les projections bleue (cos) et rouge (sin) :
🔧 Fais tourner le point sur le cercle de rayon 1 : cos θ se lit en abscisse, sin θ en ordonnée.
cos θ = √2/2
sin θ = √2/2
tan θ = 1,00
✨ Angle remarquable : valeurs exactes à connaître par cœur.
cos²θ + sin²θ = 1 quel que soit θ : c'est Pythagore dans le triangle bleu-rouge.
Degrés ou radians ?
Les formules d'arc (L = rθ) et toute l'analyse (dérivées de sin et cos) exigent des radians. Le réflexe : dès qu'un énoncé mélange angles et longueurs, convertis en radians via 180° = π.
🧩 Convertis 150° en radians.
Facile🧩 Le point M du cercle trigonométrique correspond à θ = 3π/4. Quels sont les signes de cos θ et sin θ ?
Intermédiaire- 1SOH-CAH-TOA : sin = Opposé/Hypoténuse · cos = Adjacent/Hypoténuse · tan = Opposé/Adjacent.
- 2Repère l'angle, puis nomme les côtés par rapport à lui : opposé = en face, adjacent = collé.
- 3L'hypoténuse ne bouge jamais : c'est toujours le côté face à l'angle droit.
3Les valeurs remarquables
Cinq angles reviennent dans presque toutes les questions. Leurs valeurs exactes sont à connaître par cœur :
| Angle | 0 | π/6 (30°) | π/4 (45°) | π/3 (60°) | π/2 (90°) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | n.d. |
L'astuce qui remplace le par-cœur
La ligne des sinus s'écrit √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — c'est-à-dire 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. La ligne des cosinus est la même à l'envers. Une seule suite à retenir, deux lignes retrouvées.
🧩 Calcule cos(π/3) + sin(π/6).
Facile🧩 Que vaut sin(π/4) × cos(π/4) ?
Concours4Les identités fondamentales
Trois identités structurent tout le chapitre :
L'identité fondamentale sert surtout à retrouver un rapport à partir de l'autre : si l'on connaît sin x, alors cos²x = 1 − sin²x — attention au signe, qui dépend du quadrant.
Le piège du signe
cos x = ±√(1 − sin²x) : la racine donne deux candidats. C'est le quadrant (donné par l'énoncé : « x aigu », « x ∈ [π/2 ; π] »…) qui tranche. Oublier ce choix de signe est l'erreur n°1 du chapitre.
🧩 x est un angle aigu et sin x = 3/5. Que vaut cos x ?
Intermédiaire- 1Cosinus = abscisse (horizontal), sinus = ordonnée (vertical). Ne les inverse jamais.
- 2Les deux restent compris entre −1 et 1. Un résultat hors de cet intervalle est une erreur.
- 3Conversion : 180° = π rad. Donc degrés → radians : on multiplie par π/180.
5Les angles associés : des reflets du cercle
Les angles −x, π − x et π + x sont des symétriques de x sur le cercle : leurs sinus et cosinus se déduisent par miroir.
Dessine, ne récite pas
Place x au premier quadrant, puis son reflet : −x est le miroir horizontal (le sinus bascule), π − x le miroir vertical (le cosinus bascule), π + x le demi-tour (les deux basculent). Trois dessins remplacent six formules.
🧩 Simplifie sin(π − x) + sin(π + x).
Intermédiaire6Addition et duplication
Pour combiner deux angles, les formules d'addition — puis leur cas particulier b = a, la duplication :
Le grand usage au concours : calculer des angles non remarquables en les décomposant en somme d'angles remarquables (75° = 45° + 30°), et linéariser des expressions avec la duplication.
🧩 Calcule cos 75° en valeurs exactes.
Concours🧩 Sachant que sin a = 3/5 et cos a = 4/5, que vaut sin 2a ?
IntermédiaireVu au concoursL'identité qui sauve
sin²θ + cos²θ = 1 : c'est la relation la plus rentable du chapitre. Dès qu'un énoncé donne un sinus et demande le cosinus (ou l'inverse), c'est elle qu'on attend — sans jamais chercher l'angle.
7Le triangle quelconque : loi des sinus et Al-Kashi
Sans angle droit, Pythagore et SOH-CAH-TOA ne s'appliquent plus. Deux lois prennent le relais (avec a le côté opposé à l'angle Â, etc.) :
Quelle loi choisir ?
Un couple côté ↔ angle opposé connu → loi des sinus. Deux côtés et l'angle entre eux (ou trois côtés) → Al-Kashi. Vérifie ta réponse : le plus grand côté fait toujours face au plus grand angle.
🧩 Dans un triangle, b = 5, c = 8 et = 60°. Que vaut le côté a ?
Concours8Les erreurs fréquentes
Les erreurs qui coûtent des points
Confondre opposé et adjacent
l'opposé est en face de l'angle, l'adjacent le touche — redessine le triangle.
Utiliser L = rθ ou les dérivées avec des degrés
ces formules exigent des RADIANS : convertis d'abord (180° = π).
Oublier le signe selon le quadrant
cos x = ±√(1 − sin²x) : c'est la position de x sur le cercle qui choisit.
Écrire sin(a + b) = sin a + sin b
le sinus ne se distribue PAS : utilise la formule d'addition complète.
Appliquer Pythagore dans un triangle quelconque
sans angle droit, c'est Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos Â.
Inverser les lignes sin et cos du tableau
astuce √n/2 : les sinus montent de √0/2 à √4/2, les cosinus descendent.
Points clés à retenir
- SOH-CAH-TOA dans le triangle rectangle ; l'hypoténuse est le plus long côté, face à l'angle droit.
- Sur le cercle de rayon 1 : M(cos θ ; sin θ) — définition valable pour tout angle, signes lus par quadrant.
- 180° = π rad ; radians obligatoires pour L = rθ et l'analyse.
- cos²x + sin²x = 1 : retrouver un rapport depuis l'autre, en choisissant le signe selon le quadrant.
- Valeurs remarquables via l'astuce √n/2 ; angles associés lus comme des symétries du cercle.
- Duplication : sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1.
- Triangle quelconque : loi des sinus (couple côté/angle opposé) ou Al-Kashi (deux côtés et l'angle entre eux).
Le chapitre en 8 points
01 / 08
SOH-CAH-TOA
sin = opposé/hypoténuse, cos = adjacent/hypoténuse, tan = opposé/adjacent.
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