Algèbre
Ce que tu vas travailler
Manipuler les expressions, résoudre un système et raisonner avec des vecteurs.
Prérequis : Calcul numérique, fractions et priorités opératoires.
Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.
Au concours, les maths ne sont presque jamais une fin en soi : elles servent à finir un calcul de physique ou de chimie sans se tromper. L'algèbre, c'est l'outil qui doit être automatique, pour que ta tête reste disponible pour le raisonnement.
Objectif du chapitre : ne plus jamais bloquer sur une factorisation ou une équation du second degré.
Sommaire du cours
1Produits remarquables et factorisation
Deux directions, une seule mécanique
Développer, c'est passer d'un produit à une somme. Factoriser, c'est faire l'inverse : retrouver le produit caché derrière une somme. Les identités remarquables sont les ponts entre ces deux mondes — savoir les lire dans les deux sens débloque énormément de questions.
Trois identités reviennent en permanence. Il faut pouvoir les écrire de mémoire, sans hésiter :
Le détail qui fait tout : le double produit 2ab. Un carré de somme n'est jamais la somme des carrés — il reste toujours ce terme du milieu. Vérifie-le en changeant les valeurs ci-dessous :
🔧 À toi de jouer — change a et b, le développement se recalcule :
4x² = carré du premier terme (a²)
12x= double produit (2ab) — celui qu'on oublie
9 = carré du second terme (b²)
Factoriser, c'est reconnaître une structure. Trois réflexes couvrent la grande majorité des cas :
- Mettre en facteur commun : repérer un terme présent partout. Exemple : 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
- Différence de deux carrés : dès que tu vois « quelque chose au carré − quelque chose au carré ». Exemple : x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
- Carré parfait : un trinôme dont le terme central est le double produit. Exemple : x² − 6x + 9 = (x − 3)², car 6 = 2·1·3 et 9 = 3².
L'ordre des opérations
Parenthèses, puis exposants, puis ×/÷, puis +/−. Et surtout : (a + b)² ≠ a² + b² — le double produit s'oublie tout le temps.
🧩 Développe (3x + 2)².
Facile🧩 Factorise 4x² − 9.
Intermédiaire2Puissances et racines
Tout est une histoire d'exposants
Une puissance aⁿ signifie « multiplier a par lui-même n fois ». Toutes les règles en découlent : quand on multiplie deux puissances de même base, on compte simplement combien de fois a apparaît en tout, donc on additionne les exposants ; au quotient, on les soustrait.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit (même base) | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁵ = 2⁸ |
| Quotient | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁷ / 2⁴ = 2³ |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 5⁻² = 1/25 |
| Racine = exposant | ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) | √(a⁶) = a³ |
Deux cas déstabilisent souvent :
- Exposant négatif : a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Le signe « − » fait passer le terme de l'autre côté de la barre de fraction, il ne rend pas le nombre négatif. Ainsi 2⁻³ = 1/8, surtout pas −8.
- Racine = exposant fractionnaire : ⁿ√a = a^(1/n). Une racine carrée est une puissance 1/2, une racine cubique une puissance 1/3. Du coup, toutes les règles ci-dessus s'appliquent aussi aux racines.
Le grand classique du concours reste la racine d'un carré :
Quand l'appliquer
Dès qu'on simplifie √(a²) sans connaître le signe de a — en particulier dans les questions « pour tout réel x ».
L'erreur à éviter
Écrire √(a²) = a : faux dès que a < 0. Par exemple √((−5)²) = √25 = 5, jamais −5.
Comment le retenir
Une racine carrée rend toujours un résultat ≥ 0. La valeur absolue |a| est là pour garantir ce signe, quel que soit celui de a. Fais glisser a ci-dessous pour le constater :
🔧 Fais varier a (essaie une valeur négative !) :
⚠️ Le réflexe « √(a²) = a » donnerait -5, un résultat négatif — impossible pour une racine carrée. La bonne réponse est 5.
🧩 Calcule (−64)^(1/3) · 4^(−1/2).
Intermédiaire- 1Deux carrés séparés par un moins → a² − b² = (a − b)(a + b). Le plus rentable des trois.
- 2Trois termes dont deux carrés → cherche (a ± b)², et vérifie le double produit 2ab.
- 3Avant tout calcul, mets toujours le facteur commun en évidence : ça simplifie souvent tout.
3Logarithmes et exponentielles
Le logarithme « lit » l'exposant
log_b(x) répond à une seule question : « à quel exposant faut-il élever b pour obtenir x ? ». Ainsi log₂(8) = 3, car 2³ = 8. Au concours, on rencontre surtout le logarithme népérien ln (base e ≈ 2,718) et le log décimal log (base 10).
Son super-pouvoir : transformer les produits en sommes, donc faire descendre une inconnue coincée en exposant.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | log(xy) = log x + log y |
| Quotient | log(x/y) = log x − log y |
| Puissance | log(xⁿ) = n · log x |
| Réciproques | ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x |
Pour résoudre une équation dont l'inconnue est en exposant, on applique le logarithme des deux côtés :
- 2ˣ = 32 ⟹ 2ˣ = 2⁵ ⟹ x = 5.
- eˣ = 7 ⟹ x = ln 7 ≈ 1,95.
Le piège du log
ln(a + b) ≠ ln a + ln b : le log ne se distribue pas sur une somme. Et ln x n'existe que pour x > 0.
L'exponentielle est la réciproque du logarithme : elle croît de plus en plus vite. Diminue le temps de doublement pour voir la courbe s'emballer :
🔧 Déplace le curseur : diminue le temps de doublement T, la courbe s'emballe.
N(t) = N₀ · 2^(t/2.5)
Après 10 unités : ×16
La courbe verte (exponentielle) finit toujours par écraser n'importe quelle droite.
Pour le futur médecin
Les logarithmes structurent plusieurs échelles médicales. Le pH vaut −log[H⁺] : passer de pH 7 à pH 6, c'est multiplier l'acidité par 10. De même, l'intensité sonore en décibels est logarithmique, et la demi-vie d'un médicament relie une décroissance exponentielle à un logarithme.
🧩 Une bactérie double toutes les 20 min. En combien de temps est-elle multipliée par 8 ?
Facile4Équations du premier et second degré
Une équation, c'est une balance : tout ce qu'on fait d'un côté, on doit le faire de l'autre pour garder l'égalité. Premier degré — de la forme ax + b = 0. On isole x en une étape : ax = −b, puis x = −b/a. Exemple : 3x − 12 = 0 ⟹ 3x = 12 ⟹ x = 4. Second degré — de la forme ax² + bx + c = 0. On calcule d'abord le discriminant Δ = b² − 4ac, qui indique combien il y a de solutions et lesquelles :
Change a, b, c et observe le discriminant et les racines se recalculer :
🔧 Entre a, b, c : le discriminant et les solutions se calculent en direct.
1x² − 5x + 6 = 0
Deux raccourcis qui font gagner du temps : la somme des racines vaut −b/a et leur produit vaut c/a. Pour x² − 5x + 6, on cherche donc deux nombres de somme 5 et de produit 6 : ce sont 2 et 3 — les racines, trouvées sans discriminant.
🧩 Résous x² − 5x + 6 = 0.
Intermédiaire- 1Mets l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0. Sans ça, rien ne marche.
- 2Calcule Δ = b² − 4ac. Δ > 0 → deux solutions · Δ = 0 → une · Δ < 0 → aucune (dans ℝ).
- 3Puis x = (−b ± √Δ)/(2a). Vérifie une solution en la réinjectant : ça coûte 5 secondes.
5Systèmes de deux équations
Comprendre vraiment : c'est une intersection
Un système de deux équations à deux inconnues revient à chercher le point commun à deux droites. Trois cas possibles : elles se croisent (une solution), elles sont parallèles (aucune), ou elles sont confondues (une infinité).
Bouge les droites ci-dessous pour visualiser la solution — et vois-la disparaître quand elles deviennent parallèles :
🔧 Bouge les pentes m et les ordonnées p. Le point vert est la solution.
Donne la même pente aux deux droites : elles deviennent parallèles et l'intersection disparaît.
Pour la calculer précisément, deux méthodes, à choisir selon la forme du système. Substitution — on isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre.
- Exemple : { y = 2x + 1 ; 3x + y = 11 }. On remplace y : 3x + (2x + 1) = 11 ⟹ 5x = 10 ⟹ x = 2, puis y = 2·2 + 1 = 5. Solution : (2 ; 5).
Combinaison — on additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue.
- Exemple : { 2x + 3y = 8 ; 2x − y = 0 }. On soustrait la 2ᵉ de la 1ʳᵉ : 4y = 8 ⟹ y = 2, puis 2x = y = 2 ⟹ x = 1. Solution : (1 ; 2).
Le bon réflexe
Si une inconnue a déjà un coefficient 1, la substitution est la plus rapide. Sinon, aligne les coefficients d'une même inconnue et combine.
🧩 Résous le système { y = x − 1 ; 2x + y = 5 }.
FacileVu au concoursLes logarithmes
Trois règles suffisent au concours : log(ab) = log a + log b · log(a/b) = log a − log b · log(aⁿ) = n·log a. On les retrouve derrière le pH, la décroissance radioactive et les échelles sonores.
6Proportionnalité et pourcentages
Proportionnalité — deux grandeurs sont proportionnelles quand leur rapport reste constant. On résout par produit en croix : a/b = c/d ⟹ ad = bc.
L'idée en une phrase : un pourcentage est un « × », pas un « + »
Un pourcentage est une proportion sur 100. Le réflexe gagnant est de raisonner en coefficient multiplicateur : augmenter de p %, c'est multiplier par (1 + p/100) ; diminuer, par (1 − p/100).
Quand l'utiliser
Pour enchaîner des hausses et des baisses (soldes, TVA, intérêts, évolutions successives) — on multiplie les coefficients entre eux.
Quand l'éviter
Ne jamais additionner les pourcentages successifs : +20 % puis +20 % ne fait pas +40 %, mais ×1,20 × 1,20 = ×1,44, soit +44 %.
Comment le retenir
Une variation en % est un facteur qui multiplie : les facteurs se multiplient entre eux, ils ne s'additionnent pas. Pour revenir en arrière après ×1,20, on divise par 1,20 (≈ ×0,833), on ne retire pas 20 %.
🧩 Un article à 80 € augmente de 25 %. Quel est son nouveau prix ?
Facile🧩 Un prix subit +20 % de TVA puis −40 % en soldes. Par quel facteur unique est-il multiplié au final ?
Concours7Les erreurs fréquentes
Les erreurs qui coûtent des points
Écrire (a + b)² = a² + b²
Pourquoi : on oublie le double produit
(a + b)² = a² + 2ab + b² : le terme 2ab est essentiel.
Simplifier √(a²) en a
: on garde la valeur absolue quand le signe de a est inconnu.
Distribuer le log sur une somme
ln(a + b) ≠ ln a + ln b : le log ne transforme que les PRODUITS en sommes.
Confondre exposant négatif et signe
a⁻ⁿ = 1/aⁿ, ce n'est jamais un nombre négatif.
Additionner des pourcentages successifs
on multiplie les facteurs (1 ± p/100) : −30 % puis −20 % font −44 %, pas −50 %.
Croire qu'un système a toujours une solution
droites parallèles ⇒ aucune ; confondues ⇒ une infinité.
Points clés à retenir
- Connaître les produits remarquables dans les DEUX sens (développer et factoriser).
- Puissances : les exposants s'additionnent au produit, se soustraient au quotient ; √(a²) = |a|.
- Le log transforme produits en sommes et fait descendre un exposant ; défini pour x > 0 seulement.
- Second degré : Δ = b² − 4ac donne le nombre de solutions ; somme et produit des racines pour aller vite.
- Un système = intersection de deux droites : 1, 0 (parallèles) ou une infinité (confondues) de solutions.
- Pourcentages : on MULTIPLIE des facteurs (1 ± p/100), on ne les additionne jamais.
Le chapitre en 8 points
01 / 08
Produits remarquables
(a+b)² = a² + 2ab + b². N'oublie jamais le double produit 2ab.
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