Statistiques descriptives
Ce que tu vas travailler
Étudier les variations, calculer une intégrale et interpréter des données.
Prérequis : Fonctions usuelles, trigonométrie et limites.
Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.
Un article annonce qu'un traitement « augmente la survie moyenne de 3 mois ». Est-ce beaucoup ? Sur combien de patients ? Avec quelle dispersion ? Savoir lire une statistique, c'est la première compétence du médecin face à une étude clinique.
Le chapitre est simple en calculs, piégeux en interprétation — et c'est justement là que le concours se place.
Sommaire du cours
1Le vocabulaire : population, individu, caractère
Trois mots pour tout décrire
On étudie une population (l'ensemble observé), composée d'individus (chaque élément), sur lesquels on mesure un caractère (la propriété étudiée). Quand on n'observe qu'une partie de la population, on parle d'échantillon.
Tout l'enjeu est de reconnaître le type du caractère, car il décide des outils autorisés :
- Qualitatif : les valeurs ne sont pas des nombres (groupe sanguin, couleur des yeux). On ne peut ni les additionner ni les classer — seul le mode a un sens.
- Quantitatif discret : des nombres isolés, souvent des comptages (nombre de frères et sœurs, nombre de caries).
- Quantitatif continu : toutes les valeurs d'un intervalle sont possibles (taille, masse, glycémie). On regroupe alors les données en classes.
| Caractère | Type | Exemple de valeurs |
|---|---|---|
| Groupe sanguin | Qualitatif | O, A, B, AB |
| Nombre d'enfants | Quantitatif discret | 0, 1, 2, 3… |
| Taille | Quantitatif continu | 1,72 m ; 1,845 m… |
| Douleur ressentie (échelle) | Qualitatif ordonné | faible < modérée < forte |
Pour le futur médecin
Chaque essai clinique commence par ce vocabulaire : la population cible (ex. les diabétiques de type 2), l'échantillon recruté (les 500 patients de l'étude) et les caractères mesurés (glycémie, tension, effets secondaires). Savoir si une variable est qualitative ou quantitative décide du test statistique employé — c'est la première ligne de lecture de n'importe quel article médical.
🧩 Classe ces caractères : a) le groupe sanguin d'un donneur ; b) sa masse ; c) son nombre de dons cette année.
Facile2Effectifs, fréquences et tableaux
L'effectif nᵢ compte combien d'individus prennent la valeur i ; l'effectif total N est la somme de tous les effectifs. La fréquence transforme ce comptage en proportion :
La fréquence est le bon outil pour comparer deux groupes de tailles différentes : 30 malades sur 100 (30 %) c'est plus grave que 40 sur 200 (20 %), même si l'effectif est plus petit. Les fréquences cumulées Fᵢ additionnent les fréquences depuis le début : elles répondent aux questions du type « quelle proportion a au plus telle valeur ? ». Remplis le tableau toi-même — observe que les fréquences se réajustent pour toujours sommer à 1 :
🔧 Groupes sanguins de 100 donneurs — change les effectifs, les fréquences suivent :
| Groupe | Effectif nᵢ | Fréquence fᵢ | En % | Cumulée Fᵢ |
|---|---|---|---|---|
| O | 0,450 | 45 % | 45 % | |
| A | 0,400 | 40 % | 85 % | |
| B | 0,100 | 10 % | 95 % | |
| AB | 0,050 | 5 % | 100 % | |
| Total | N = 100 | 1 | 100 % |
Quel que soit N, la somme des fréquences vaut toujours 1 — c'est ta vérification de fin de tableau.
Effectif ou fréquence ?
Un énoncé qui compare des sous-groupes de tailles différentes appelle presque toujours les fréquences. Réflexe : dès que N n'est pas le même des deux côtés, convertis en % avant de comparer.
🧩 Dans un amphi de 250 étudiants, 85 sont fumeurs. Quelle est la fréquence de fumeurs, en % ?
Facile🧩 Une série a pour fréquences cumulées F₁ = 0,2 ; F₂ = 0,55 ; F₃ = 1. Quelle est la fréquence f₂ de la 2ᵉ valeur ?
Intermédiaire3Moyenne, médiane, mode : les paramètres de position
Un paramètre de position répond à la question : « autour de quelle valeur se situe la série ? ». Il y en a trois, et ils ne racontent pas la même histoire. La moyenne additionne tout puis répartit équitablement :
La médiane est la valeur qui coupe la série triée en deux moitiés : 50 % en dessous, 50 % au-dessus. Si n est impair, c'est la valeur centrale ; si n est pair, la demi-somme des deux valeurs centrales. Le mode est simplement la valeur la plus fréquente — le seul paramètre qui garde un sens pour un caractère qualitatif (le groupe sanguin « le plus courant »). La grande différence entre moyenne et médiane apparaît dès qu'une valeur extrême entre dans la série. Fais glisser le patient longue durée :
🔧 Durées de séjour de 6 patients (jours) : 2, 3, 3, 4, 5 et un patient longue durée. Fais-le glisser :
Moyenne x̄ = 9,5 j — elle suit le patient extrême.
Médiane Me = 3,5 j — elle ne bouge presque pas : robuste.
La moyenne se laisse traîner
Une seule valeur aberrante suffit à déplacer fortement la moyenne. La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs : elle bouge à peine. C'est pour ça qu'on annonce le salaire médian et non moyen — et que les durées de séjour hospitalier se comparent en médianes.
Quel paramètre choisir ?
Série homogène, sans valeur extrême → la moyenne exploite toute l'information. Série asymétrique ou avec des extrêmes (revenus, durées d'attente, survies) → la médiane décrit mieux l'individu « typique ».
🧩 Notes : 8, 12, 13, 10, 12. Donne la moyenne, la médiane et le mode.
Facile🧩 Un groupe de 12 filles a une moyenne de 13 et un groupe de 8 garçons une moyenne de 10,5. Moyenne de la classe ?
Intermédiaire- 1Moyenne : on additionne et on divise. Elle est tirée par les valeurs extrêmes.
- 2Médiane : la valeur du milieu, une fois les données rangées. Insensible aux extrêmes.
- 3Mode : la valeur la plus fréquente. Sur un histogramme, c'est simplement la barre la plus haute.
4Étendue, variance, écart-type : les paramètres de dispersion
Deux classes peuvent avoir la même moyenne et des profils radicalement différents : l'une regroupée autour de 12, l'autre écartelée entre 2 et 22. Les paramètres de dispersion mesurent cet étalement. L'étendue est le plus simple : e = x_max − x_min. Rapide, mais fragile — elle ne dépend que de deux valeurs. La variance fait mieux : elle mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type σ en prend la racine pour revenir à l'unité de départ :
Pourquoi des carrés ? Parce que les écarts bruts se compensent : ceux au-dessus de la moyenne annulent ceux en dessous, et leur somme vaut toujours 0. Les élever au carré rend tout positif — et pénalise davantage les grands écarts. Écarte la série orange et observe σ grimper alors que la moyenne ne bouge pas :
🔧 Deux séries de notes, même moyenne (12). Écarte la série orange et regarde σ :
σ(A) = 1,41
σ(B) = 4,24
La moyenne ne dit rien de l'étalement : il faut l'écart-type pour distinguer ces deux classes.
L'unité, ton garde-fou
σ s'exprime dans la même unité que les données (des points, des cm, des mmol/L) ; la variance, elle, est en unité au carré. Une variance négative est impossible : c'est une moyenne de carrés. Si tu en obtiens une, cherche l'erreur de calcul.
Pour le futur médecin
Les valeurs de référence d'un laboratoire sont construites sur la dispersion : l'intervalle « normal » couvre en gros la moyenne ± 2 écarts-types de la population saine, soit environ 95 % des individus. Un résultat hors norme est d'abord un résultat statistiquement inhabituel — pas automatiquement pathologique.
🧩 Série : 2, 4, 6, 8, 10. Calcule la variance et l'écart-type.
Intermédiaire🧩 Une série a une moyenne de 10 et une moyenne des carrés de 116. Que vaut σ ?
Concours5Quartiles et boîte à moustaches
Les quartiles généralisent la médiane : au lieu de couper la série en deux, ils la coupent en quatre quarts. Q₁ laisse 25 % des valeurs en dessous, la médiane 50 %, Q₃ 75 %. L'écart interquartile mesure la largeur de la moitié centrale :
Comme la médiane, les quartiles ne dépendent que du rang des valeurs : ils sont robustes aux valeurs extrêmes. La boîte à moustaches en fait un dessin : la boîte va de Q₁ à Q₃ (avec la médiane à l'intérieur), les moustaches filent jusqu'au minimum et au maximum. Fais exploser le temps d'attente le plus long — la boîte, elle, ne bronche pas :
🔧 Temps d'attente aux urgences (min) de 11 patients. Fais varier le cas le plus long :
Écart interquartile : EI = 25 − 12 = 13 min
La boîte et la médiane ne bougent pas : les quartiles sont robustes.
Lire une boîte en 3 secondes
Chaque zone (moustache gauche, demi-boîte gauche, demi-boîte droite, moustache droite) contient environ 25 % des valeurs. Une boîte étroite = série concentrée ; une moustache très longue = queue de distribution étirée de ce côté.
🧩 Série triée : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16 (n = 11). Donne Me, Q₁, Q₃ et l'EI.
Intermédiaire- 1L'écart-type dit à quel point les valeurs s'éloignent de la moyenne. Petit = groupe homogène.
- 2Il s'exprime dans la même unité que les données ; la variance, elle, est son carré.
- 3Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des écarts-types très différents. C'est le piège attendu.
6Données groupées en classes et graphiques
Pour un caractère continu (tailles, glycémies), on regroupe les valeurs en classes — des intervalles comme [160 ; 170[. On perd le détail, mais on gagne une vue d'ensemble. Pour calculer une moyenne malgré tout, chaque classe est représentée par son centre :
Chaque famille de graphique a sa spécialité :
| Graphique | Sert à montrer | Détail clé |
|---|---|---|
| Diagramme en bâtons | Un caractère discret | Hauteur = effectif |
| Histogramme | Un caractère continu en classes | Les rectangles se touchent |
| Diagramme circulaire | Des parts d'un tout | Angle = fᵢ × 360° |
| Boîte à moustaches | Position ET dispersion | Les 5 nombres résumés |
Les graphiques qui mentent
Deux pièges de concours (et de médias) : l'axe tronqué, qui démarre à 80 au lieu de 0 pour gonfler une petite différence, et les classes d'amplitudes différentes dans un histogramme, qui déforment les surfaces. Toujours lire les axes avant les barres.
🧩 Dans un diagramme circulaire, quel angle représente une fréquence de 25 % ?
Facile🧩 Classes de tailles : [150;160[ avec 5 élèves, [160;170[ avec 12, [170;180[ avec 3. Estime la moyenne.
ConcoursVu au concoursMoyenne vs médiane
L'exemple qu'on te tend : des salaires où une seule valeur énorme fait exploser la moyenne. La médiane résiste, la moyenne non. Dès qu'un énoncé parle de valeurs extrêmes, la réponse attendue est la médiane.
7Les erreurs fréquentes
Les erreurs qui coûtent des points
Oublier de TRIER avant la médiane
la médiane se lit sur la série ordonnée — jamais dans l'ordre de l'énoncé.
Confondre effectif et fréquence
40 cas sur 200 (20 %) < 30 cas sur 100 (30 %) : on compare des fréquences, pas des comptages.
Moyenner des moyennes sans pondérer
deux groupes de tailles différentes ⇒ moyenne PONDÉRÉE par les effectifs.
Annoncer une variance négative
impossible : V est une moyenne de carrés. Résultat < 0 = erreur de calcul.
Confondre σ et V
σ = √V ; σ est dans l'unité des données, V dans l'unité au carré.
Croire la moyenne « robuste »
une seule valeur extrême la déplace ; la médiane et les quartiles, eux, résistent.
Lire un graphique sans les axes
un axe tronqué transforme +2 % en falaise. Les axes d'abord, les barres ensuite.
Points clés à retenir
- fᵢ = nᵢ/N, la somme des fréquences vaut 1 ; les cumulées répondent à « au plus telle valeur ».
- Moyenne = équilibre de la série, sensible aux extrêmes ; médiane = valeur du milieu, robuste ; mode = la plus fréquente.
- Moyennes de groupes ⇒ toujours pondérer par les effectifs.
- V = moyenne des carrés des écarts = (moyenne des carrés) − (carré de la moyenne) ; σ = √V, même unité que les données.
- Q₁, Me, Q₃ coupent la série triée en quatre quarts ; EI = Q₃ − Q₁ mesure la moitié centrale.
- La boîte à moustaches résume min, Q₁, Me, Q₃, max — chaque zone ≈ 25 % des valeurs.
- Caractère continu ⇒ classes, centre de classe et moyenne estimée.
Le chapitre en 8 points
01 / 08
Population et caractère
On observe un caractère (qualitatif ou quantitatif) sur chaque individu d'une population.
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