Intégration par substitution et par parties

1Reconnaître une dérivée composée

Si une expression contient $u'(x)f(u(x))$, pose $t=u(x)$ : le facteur $u'(x)dx$ devient $dt$. Par exemple, dans $\int 2x\cos(x^2)\,dx$, pose $t=x^2$. Une primitive est $\sin(x^2)+C$. Le facteur de dérivée doit être présent, éventuellement à une constante près. Ainsi $\int x\cos(x^2)\,dx=\tfrac12\sin(x^2)+C$.

2Substitution dans une intégrale définie

Pour $\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$, les nouvelles bornes sont $t(0)=0$ et $t(1)=1$. On obtient $\int_0^1e^t\,dt=e-1$. Dans $\int_1^2 2x/(1+x^2)\,dx$, pose $t=1+x^2$. Les bornes deviennent 2 et 5. Le résultat est $\ln 5-\ln2=\ln(5/2)$. Ne mélange pas des bornes exprimées en $x$ avec une primitive exprimée en $t$.

3Intégration par parties

La formule vient de la dérivée d'un produit : $\int u v'\,dx=uv-\int u'v\,dx$. Elle est utile si dériver $u$ simplifie l'expression, et si l'on sait intégrer $v'$. Pour $\int xe^x\,dx$, choisis $u=x$ et $v'=e^x$. On obtient $xe^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C$. Pour une intégrale définie, le terme de bord doit être évalué : $\int_a^b uv'\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u'v\,dx$.

4Vérifier et interpréter

Dérive ta primitive pour vérifier le résultat. Une intégrale définie est une aire algébrique : une fonction négative contribue négativement. Pour une aire géométrique, découpe aux changements de signe et additionne les aires positives.

5Exemple guidé : intégrer un logarithme

Cherchons une primitive de $\ln x$ sur $x>0$. Une substitution ne fait pas immédiatement apparaître une dérivée composée. Réécris le produit $1\times\ln x$ et choisis $u=\ln x$, $v'=1$. Alors $u'=1/x$ et $v=x$.

La formule par parties donne $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x(1/x)\,dx=x\ln x-x+C$. Vérifie en dérivant : la dérivée de $x\ln x$ est $\ln x+1$, celle de $-x$ est $-1$. Il reste bien $\ln x$.

Sur $[1,e]$, l'intégrale vaut $[x\ln x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$. Le terme à la borne inférieure doit être soustrait en entier. La parenthèse évite une erreur de signe fréquente.

6Choisir sa méthode

Cherche d'abord une primitive immédiate ou une somme de primitives. Si tu vois une fonction accompagnée de sa dérivée, pense substitution. Un produit entre un polynôme et une exponentielle conduit souvent à une intégration par parties. Après le calcul, la dérivation de la primitive est un contrôle plus fiable que la simple ressemblance avec un résultat connu.