Fonctions composées et trigonométriques réciproques

1Composition et domaine

La composée $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ n'est définie que si $x$ appartient au domaine de $g$ et si $g(x)$ appartient au domaine de $f$. Avec $f(u)=\ln u$ et $g(x)=x-2$, la composée vaut $\ln(x-2)$ et exige $x>2$. Inverser l'ordre donne $g(f(x))=\ln x-2$, définie pour $x>0$ : l'ordre change le résultat et le domaine.

2Pourquoi restreindre un domaine ?

Le sinus prend la même valeur pour plusieurs angles. Il n'a donc pas de réciproque sur tous les réels. On le restreint à l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2]$, où il est strictement croissant.

• $\arcsin(x)$ est défini pour $-1\le x\le1$ et renvoie un angle entre $-\pi/2$ et $\pi/2$.
• $\arccos(x)$ est défini pour $-1\le x\le1$ et renvoie un angle entre 0 et $\pi$.
• $\arctan(x)$ est défini pour tout réel et renvoie un angle entre $-\pi/2$ et $\pi/2$, bornes exclues.

3Valeur principale et ensemble des solutions

$\arcsin(1/2)=\pi/6$, mais l'équation $\sin x=1/2$ possède aussi les solutions $5\pi/6+2k\pi$, en plus de $\pi/6+2k\pi$, avec $k$ entier. La notation $\sin^{-1}$ peut désigner arcsin sur une calculatrice ; elle ne doit pas être confondue avec $1/\sin x$. De même, $\arcsin(\sin x)=x$ seulement si $x$ se trouve dans l'intervalle choisi pour la réciproque.

4Exemple guidé : résoudre une équation complète

Résolvons $\cos(2x)=1/2$ sur $[0,2\pi]$. Pose $u=2x$ ; le nouvel intervalle est $[0,4\pi]$. Sur le cercle trigonométrique, les angles de cosinus $1/2$ sont $u=\pi/3+2k\pi$ ou $u=-\pi/3+2k\pi$.

Dans l'intervalle demandé pour $u$, on retient $\pi/3$, $5\pi/3$, $7\pi/3$ et $11\pi/3$. En divisant par deux, les solutions pour $x$ sont $\pi/6$, $5\pi/6$, $7\pi/6$ et $11\pi/6$. Vérifie que chacune appartient à l'intervalle initial.

Le calcul $\arccos(1/2)=\pi/3$ ne donne qu'une valeur principale. S'arrêter à $x=\pi/6$ oublie trois solutions. La réciproque aide à trouver un angle de référence ; la symétrie et la périodicité permettent de construire toutes les solutions.

5Contrôle de compréhension

Si l'énoncé travaille en radians, conserve les radians dans tout le calcul. Pour $\arcsin(2)$, le problème n'est pas le choix de l'unité : 2 est hors du domaine de définition réel. Vérifier le domaine doit précéder tout calcul d'angle.

6Exercices corrigés