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Fonctions

~13 min de lecture 8 sections

S’entraîner sur ce chapitre Fiche de synthèse

Ce que tu vas travailler

Passer d'une expression à son domaine, sa courbe et son comportement.

Prérequis : Savoir transformer une expression et résoudre une équation.

Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.

La concentration d'un médicament dans le sang décroît de façon exponentielle. Une population de bactéries, elle, croît de la même façon à l'envers. Derrière ces courbes du quotidien médical, il y a quelques fonctions qu'il faut savoir lire d'un coup d'œil.

Objectif : reconnaître une forme de courbe et en déduire le comportement, sans faire un seul calcul.

Sommaire du cours

1Lire une fonction : domaine, image, graphe

Le domaine de définition est l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe. Trois interdits couvrent presque tous les cas du concours :

Division : le dénominateur ne peut pas s'annuler — f(x) = 1/x exige x ≠ 0.
Racine carrée : le contenu doit être ≥ 0 — f(x) = √x exige x ≥ 0.
Logarithme : l'argument doit être > 0 — f(x) = ln x exige x > 0 (strictement !).

L'image f(x) est la valeur produite ; le graphe est l'ensemble des points (x ; f(x)). Un antécédent de y est un x tel que f(x) = y — il peut y en avoir plusieurs, ou aucun.

Le réflexe domaine

Avant tout calcul, scanne la formule : un dénominateur ? une racine ? un ln ? Chaque interdit retire des x du domaine. Au QCM, une réponse « hors domaine » est éliminée d'office.

🧩 Quel est le domaine de f(x) = √(x − 2) ?

Facile

🧩 Quel est le domaine de f(x) = 1/(x² − 9) ?

Intermédiaire

2La parabole du second degré

La fonction f(x) = ax² + bx + c dessine une parabole. Deux informations la résument :

\displaystyle x_s = -\dfrac{b}{2a}

\displaystyle f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \quad \text{(forme canonique, sommet } (\alpha \,;\, \beta)\text{)}

Le sommet est le point d'équilibre de la parabole.

Si a > 0, les branches montent (∪) : le sommet est un minimum.
Si a < 0, les branches descendent (∩) : le sommet est un maximum.
L'axe de symétrie est la verticale x = x_s ; les racines éventuelles (chapitre Algèbre : Δ) sont symétriques autour de lui.

Sculpte la parabole et regarde le sommet suivre :

🔧 Sculpte la parabole avec a, b, c — le sommet (or) et les racines (vert) suivent.

x_s = −b/2a = 1
sommet (1 ; −4) — branches ∪ (a > 0)

b−2

c−3

Passe a en négatif : la parabole se retourne, le sommet devient un maximum.

Le lien avec le chapitre Algèbre

Les racines de la parabole sont les solutions de ax² + bx + c = 0 : le discriminant Δ dit si la courbe coupe l'axe des x deux fois (Δ > 0), le frôle (Δ = 0) ou passe au-dessus/en dessous (Δ < 0).

🧩 Donne le sommet de la parabole f(x) = x² − 4x + 1.

Intermédiaire

Le réflexe concours⏱ 20 s — étudier une parabole

1Le signe de a donne le sens : a > 0 → elle sourit (minimum) ; a < 0 → elle pleure (maximum).
2Sommet : x = −b/(2a). Puis on remplace pour obtenir l'ordonnée.
3Intersections avec l'axe des x : c'est le discriminant qui décide combien il y en a.

3L'exponentielle

L'exponentielle et le logarithme sont réciproques : leurs courbes se reflètent dans la droite y = x.

La fonction exponentielle x → eˣ (e ≈ 2,718) transforme les sommes en produits — c'est la jumelle inversée du logarithme :

\displaystyle e^0 = 1 \qquad e^{a+b} = e^a \, e^b \qquad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}

\displaystyle e^x > 0 \quad \text{pour tout } x

Toujours positive, toujours croissante.

Sa signature : une croissance qui s'emballe. Chaque unité de temps multiplie la valeur par le même facteur — revois-la s'envoler :

🔧 Déplace le curseur : diminue le temps de doublement T, la courbe s'emballe.

N(t) = N₀ · 2^(t/2.5)

Temps de doublement T = 2.5

Après 10 unités : ×16

Comparer au linéaire

La courbe verte (exponentielle) finit toujours par écraser n'importe quelle droite.

Pour le futur médecin

L'exponentielle décrit la croissance bactérienne (doublements successifs) et la décroissance d'un médicament : après chaque demi-vie, la concentration est divisée par 2, soit C(t) = C₀ · e^(−kt). La demi-vie, la datation au carbone 14 et la cinétique d'élimination rénale : une seule et même fonction.

🧩 Résous e^(2x) = e⁶.

Facile

🧩 Simplifie (e³ × e⁻¹)².

Intermédiaire

4Le logarithme népérien

Le logarithme népérien ln est la réciproque de l'exponentielle : il « lit » l'exposant.

\displaystyle \ln 1 = 0 \qquad \ln e = 1 \qquad \ln(e^x) = x \qquad e^{\ln x} = x

\displaystyle \ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n \ln a

Chaque propriété de ln est le miroir d'une propriété de exp.

Son grand rôle : résoudre les équations où l'inconnue est en exposant. On isole l'exponentielle, puis on applique ln des deux côtés.

Le domaine avant tout

ln x n'existe que pour x > 0. Une équation ln(x − 3) = … impose x > 3 avant même de calculer — et une « solution » qui viole cette condition est à rejeter.

🧩 Résous eˣ = 5.

Facile

🧩 Résous 3 × 2ˣ = 96.

Concours

Le réflexe concours⏱ 15 s — exponentielle ou logarithme ?

1Exponentielle : croissance de plus en plus rapide, jamais négative, passe par (0 ; 1).
2Logarithme : croissance de plus en plus lente, définie seulement pour x > 0, passe par (1 ; 0).
3Elles sont réciproques : ln(eˣ) = x. Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.

5Les suites arithmétiques

Une suite est une liste ordonnée de nombres u₀, u₁, u₂… Une suite arithmétique avance par addition : chaque terme est le précédent plus une constante r, la raison.

\displaystyle u_{n+1} = u_n + r

\displaystyle u_n = u_0 + n\,r

\displaystyle S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}

Du pas-à-pas (récurrence) à la formule directe (terme général).

Le graphe d'une suite arithmétique est un escalier régulier : des points alignés sur une droite de pente r. Compare les deux moteurs de suites :

🔧 Compare les deux moteurs : on AJOUTE r (arithmétique) ou on MULTIPLIE par q (géométrique).

uₙ = 2 + n·3

u₀ = 2raison r = 3

Croissance régulière : des marches d'escalier.

🧩 u₀ = 3 et r = 4. Que vaut u₁₀ ?

Facile

🧩 Calcule la somme 1 + 2 + 3 + … + 100.

Intermédiaire

Vu au concoursArithmétique ou géométrique ?

On ajoute toujours la même chose → arithmétique (uₙ = u₀ + n·r). On multiplie toujours par le même nombre → géométrique (uₙ = u₀·qⁿ). Les phénomènes biologiques (bactéries, demi-vie) sont presque toujours géométriques.

6Les suites géométriques

Une suite géométrique avance par multiplication : chaque terme est le précédent multiplié par la raison q.

\displaystyle u_{n+1} = q\,u_n

\displaystyle u_n = u_0 \, q^n

\displaystyle S = u_0 \, \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

La somme est valable pour q ≠ 1.

Pour q > 0, trois destins : explosion exponentielle (q > 1), effondrement vers 0 (0 < q < 1), ou sur place (q = 1). Si q < 0, la suite alterne de signe à chaque terme. C'est la version « entière » de l'exponentielle — mêmes applications, mêmes réflexes.

Pour le futur médecin

Une dose de médicament prise chaque jour pendant que l'organisme en élimine une fraction : la concentration résiduelle suit une suite géométrique. C'est ainsi qu'on calcule les doses de charge et les concentrations à l'équilibre.

🧩 Une culture bactérienne double chaque heure (q = 2), u₀ = 100. Combien de bactéries après 6 h ?

Facile

🧩 u₀ = 1 et q = 3. Que vaut la somme des 5 premiers termes (u₀ à u₄) ?

Concours

7Parité : les symétries du graphe

Fonction paire : le graphe est symétrique par rapport à l'axe des y. Impaire : symétrique par rapport à l'origine.

Deux symétries remarquables se testent par le calcul de f(−x) :

\displaystyle f(-x) = f(x) \quad \text{(fonction paire)}

\displaystyle f(-x) = -f(x) \quad \text{(fonction impaire)}

Paire : miroir autour de l'axe Oy. Impaire : demi-tour autour de l'origine.

Exemples : x², cos x et |x| sont paires ; x³, x et sin x sont impaires. La plupart des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre (eˣ par exemple).

🧩 f(x) = x⁴ − 3x² est-elle paire, impaire, ni l'une ni l'autre ?

Facile

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Oublier le domaine

dénominateur ≠ 0, racine ≥ 0, ln > 0 : à vérifier AVANT de résoudre.

Confondre les deux moteurs de suites

arithmétique = on AJOUTE r ; géométrique = on MULTIPLIE par q.

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b

le ln ne transforme que les PRODUITS en sommes.

Croire que eˣ peut être négatif ou nul

e^x > 0 toujours : e^x = −2 n'a AUCUNE solution.

Se tromper de signe au sommet

x_s = −b/(2a), avec le signe moins devant b.

Confondre uₙ = u₀ + n·r et u₀·qⁿ

l'indice n compte les PAS depuis u₀ — u₁₀ = u₀ + 10r, pas 11r.

Conclure « paire » sur un seul exemple

la parité se prouve par le calcul de f(−x) pour tout x.

Points clés à retenir

Domaine : traquer dénominateurs, racines et logarithmes avant tout calcul.
Parabole : sommet en x = −b/2a, branches selon le signe de a ; racines gérées par Δ (chapitre Algèbre).
Exponentielle : strictement positive, transforme les sommes en produits ; croissance qui s'emballe.
ln est la réciproque de eˣ : il fait descendre les exposants ; défini pour x > 0 seulement.
Suite arithmétique : uₙ = u₀ + n·r (escalier) ; somme = nombre de termes × moyenne des extrêmes.
Suite géométrique : uₙ = u₀·qⁿ (exponentielle discrète) ; somme = u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
Parité : calculer f(−x) et comparer — paire (miroir Oy) ou impaire (symétrie origine).

Le chapitre en 8 points

Récap animé— Fonctions en 8 points

01 / 08

Une fonction

Une machine x → f(x) : un domaine, une image, un graphe.

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