Polynômes et systèmes à trois inconnues

1Calculer avec des polynômes

Un polynôme en $x$ est une somme de termes $a_kx^k$, avec des exposants entiers positifs ou nuls. Son degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul. Le degré du polynôme nul n'est pas défini ici. Pour additionner, regroupe les termes de même puissance. Pour multiplier, distribue chaque terme, puis réduis. Le degré d'un produit de deux polynômes non nuls est la somme des degrés. Celui d'une somme peut diminuer si les termes dominants s'annulent. Exemple : $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$. En remplaçant $x$ par 3, on obtient 0 : 3 est une racine, et $(x-3)$ est un facteur.

2Trois inconnues : éliminer progressivement

On peut échanger deux équations, multiplier une équation par un nombre non nul ou lui ajouter un multiple d'une autre équation. Ces opérations conservent l'ensemble des solutions. Considérons $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$ et $x+2y-z=2$. Soustrais deux fois la première équation à la deuxième : $-3y-z=-9$. Soustrais la première à la troisième : $y-2z=-4$. La première relation donne $z=9-3y$. En remplaçant dans la seconde : $y-2(9-3y)=-4$, donc $7y=14$. Ainsi $y=2$, $z=3$ puis $x=1$. Vérifie ces trois valeurs dans les trois équations de départ.

3Reconnaître les cas particuliers

Une ligne $0=5$ indique une contradiction : aucune solution. Une ligne $0=0$ n'ajoute aucune contrainte ; si une inconnue reste libre après réduction, il y a une infinité de solutions. Ne conclus pas automatiquement qu'un système de trois équations possède une seule solution.

4Exemple guidé : traduire puis résoudre

Trois lots A, B et C contiennent respectivement $x$, $y$ et $z$ objets. Leur total est 18. Le lot A contient deux fois autant d'objets que B ; C en contient 2 de plus que B. Avant de calculer, traduis chaque information séparément : $x+y+z=18$, $x=2y$, $z=y+2$.

Remplace ensuite les deux expressions connues dans la première équation : $2y+y+(y+2)=18$. Réduis : $4y=16$, donc $y=4$. Remonte vers les autres inconnues : $x=8$ et $z=6$. La vérification ne se limite pas au total : il faut aussi contrôler $8=2\times4$ et $6=4+2$.

Cette méthode de substitution est efficace quand une inconnue est déjà isolée. Si les trois équations sont développées sans inconnue isolée, l'élimination évite souvent les fractions. Choisir une méthode est une étape du raisonnement, pas une règle à appliquer mécaniquement.

5Erreur fréquente : diviser par une expression inconnue

Passer de $x(x-2)=0$ à $x-2=0$ en divisant par $x$ fait disparaître la solution $x=0$. Un produit nul se traite en annulant chacun des facteurs. Diviser par une expression contenant une inconnue exige d'examiner d'abord le cas où cette expression vaut zéro.

6Exercices corrigés