Calcul vectoriel
Ce que tu vas travailler
Manipuler les expressions, résoudre un système et raisonner avec des vecteurs.
Prérequis : Calcul numérique, fractions et priorités opératoires.
Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.
Une force, une vitesse, un champ : en sciences, beaucoup de grandeurs ont besoin d'une direction en plus d'un nombre. Le vecteur est l'outil qui porte cette information, et c'est lui qui rend possibles les bilans de forces en physique.
Investissement rentable : ce chapitre sert plus en physique qu'en maths le jour du concours.
Sommaire du cours
1Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Trois informations dans une flèche
Un vecteur u, c'est une flèche qui code trois choses : une direction (la droite qui la porte), un sens (vers où elle pointe) et une norme (sa longueur). Et c'est tout : un vecteur n'a pas de position. Deux flèches parallèles, de même sens et de même longueur représentent le même vecteur, où qu'elles soient dessinées.
Concrètement, un vecteur représente un déplacement : AB signifie « le trajet qui mène de A vers B ». Dans un repère, on le décrit par ses coordonnées — de combien on avance en x, de combien on monte en y :
Arrivée moins départ
L'erreur classique est d'écrire « départ moins arrivée ». Retiens l'ordre : là où j'arrive moins là d'où je pars. Le vecteur AB part de A, donc les coordonnées de A se soustraient.
🧩 A(2 ; 3) et B(5 ; 1). Donne les coordonnées de AB et de BA.
Facile2La norme : la longueur de la flèche
La norme ‖u‖ mesure la longueur du vecteur. Ses composantes x et y forment les deux côtés d'un triangle rectangle dont la flèche est l'hypoténuse — c'est donc Pythagore :
Pour le futur médecin
Une force de traction orthopédique se prescrit avec une intensité (sa norme, en newtons) ET une direction (l'axe du membre). Les deux informations sont indissociables : 30 N dans le mauvais axe ne soignent rien. C'est exactement la définition d'un vecteur.
🧩 Que vaut la norme de u = (3 ; 4) ?
Facile🧩 A(1 ; −2) et B(4 ; 2). Calcule la distance AB.
Intermédiaire3Additionner, soustraire, multiplier par un nombre
Les opérations se font composante par composante :
Géométriquement, additionner deux vecteurs, c'est les mettre bout à bout : on dessine v à partir de la pointe de u, et la somme va directement du départ du premier à l'arrivée du second. C'est la relation de Chasles :
Mets les flèches bout à bout toi-même :
🔧 Mets v (rouge) au bout de u (bleu) : la somme (vert) va directement du départ à l'arrivée.
u + v = (3 + 1 ; 1 + 2) = (4 ; 3)
‖u + v‖ = 5
Relation de Chasles : AB + BC = AC — le point du milieu s'efface, la flèche verte est le raccourci.
Multiplier par k étire le vecteur (k > 1), le raccourcit (0 < k < 1) ou le retourne (k < 0) — sans jamais changer sa direction. Le vecteur −u est l'opposé : même longueur, sens contraire.
Chasles, l'outil anti-calcul
Dès qu'une somme de vecteurs enchaîne des points (AB + BC + CD…), les points intermédiaires « s'avalent » : il ne reste que AD. Beaucoup de questions se résolvent sans une seule coordonnée.
🧩 u = (2 ; −1) et v = (−3 ; 4). Calcule u + v et 2u − v.
Intermédiaire🧩 Simplifie MN + NP + PQ (somme de vecteurs).
Facile- 1Additionner deux vecteurs : on additionne composante par composante, x avec x, y avec y.
- 2Multiplier par un nombre k : on multiplie chaque composante par k.
- 3Norme (la longueur) : ‖u‖ = √(x² + y²). Toujours positive, jamais négative.
4Le produit scalaire
Le produit scalaire combine deux vecteurs pour produire… un nombre (un « scalaire », d'où son nom). Il se calcule de deux façons, à choisir selon les données :
Sa vraie valeur ajoutée : son signe raconte l'angle entre les deux vecteurs.
- u · v > 0 : angle aigu — les vecteurs « vont dans le même sens général ».
- u · v = 0 : angle droit — perpendiculaires.
- u · v < 0 : angle obtus — ils s'opposent.
Oriente les flèches et traque le zéro :
🔧 Oriente les deux vecteurs : le signe du produit scalaire raconte l'angle.
u · v = (3)(-1) + (1)(3) = 0
u · v = 0 → PERPENDICULAIRES (θ = 90°)Cherche une position où u · v = 0 : les deux flèches forment alors un angle droit, quelle que soit leur longueur.
Un nombre, pas un vecteur
u · v = −5 est un résultat parfaitement valable : c'est un nombre. Si ton produit scalaire a deux coordonnées, tu as confondu avec l'addition.
🧩 u = (3 ; 1) et v = (−1 ; 3). Calcule u · v. Que peux-tu en déduire ?
Facile🧩 ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3 et θ = 60°. Que vaut u · v ?
Concours5Les deux tests du concours : perpendiculaires ou colinéaires ?
Deux questions reviennent en boucle, chacune avec son test :
Colinéaires signifie « même direction » : l'un est un multiple de l'autre (v = k·u). C'est le test du parallélisme et de l'alignement : trois points A, B, C sont alignés si AB et AC sont colinéaires.
Quel test pour quelle question ?
« Les droites sont-elles perpendiculaires ? » → produit scalaire = 0. « Les points sont-ils alignés ? » ou « les droites parallèles ? » → colinéarité xy′ − x′y = 0. Les deux tests se ressemblent : écris-les côte à côte jusqu'à les distinguer sans réfléchir.
Ne pas mélanger les deux formules
xx′ + yy′ (avec un plus) teste la perpendicularité ; xy′ − x′y (en croix, avec un moins) teste la colinéarité. Le concours adore proposer l'un quand il faut l'autre.
🧩 u = (2 ; 3) et v = (6 ; 9). Colinéaires ou perpendiculaires ?
Intermédiaire🧩 A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(7 ; 10). Les trois points sont-ils alignés ?
Concours- 1Perpendiculaires ? Calcule le produit scalaire : il vaut 0 si et seulement si ils le sont.
- 2Colinéaires ? Vérifie x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0, ou cherche un k tel que v = k·u.
- 3Ne confonds pas : le produit scalaire donne un nombre, pas un vecteur.
6Milieu, parallélogramme et bilans de forces
Le milieu M de [AB] se calcule en moyennant les coordonnées :
Autre grand classique : ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (deux côtés opposés portés par le même vecteur). C'est le moyen le plus rapide de trouver un 4ᵉ sommet.
Pour le futur médecin
En biomécanique, chaque muscle tire sur l'os avec un vecteur force. Le mouvement de l'articulation dépend de la résultante — la somme vectorielle de toutes les tractions. Une traction équilibrée (somme nulle) immobilise le membre : c'est le principe des tractions orthopédiques.
🧩 A(0 ; 0), B(4 ; 1), C(6 ; 4). Trouve D pour que ABCD soit un parallélogramme.
IntermédiaireVu au concoursLe produit scalaire par les angles
L'autre formule : u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ. Elle sert dès qu'un énoncé donne un angle plutôt que des composantes — et c'est elle qu'on retrouve derrière le travail d'une force, W = F·d·cos θ.
7Les erreurs fréquentes
Les erreurs qui coûtent des points
Écrire AB = « départ − arrivée »
c'est l'inverse : AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A), arrivée moins départ.
Croire que u · v est un vecteur
le produit scalaire est un NOMBRE — s'il a des coordonnées, c'est faux.
Additionner les normes
‖u + v‖ ≠ ‖u‖ + ‖v‖ en général : la somme des flèches n'est pas la somme des longueurs.
Confondre les deux tests
perpendiculaires : xx′ + yy′ = 0 ; colinéaires : xy′ − x′y = 0.
Oublier la racine dans la norme
‖u‖ = √(x² + y²) : les carrés d'abord, la racine ensuite.
Ignorer le signe du produit scalaire
négatif = angle obtus : c'est une information, pas une erreur de calcul.
Points clés à retenir
- Un vecteur = direction + sens + norme ; il représente un déplacement, pas une position.
- AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A) et ‖u‖ = √(x² + y²).
- Somme composante par composante ; géométriquement, bout à bout (Chasles : AB + BC = AC).
- u · v = xx′ + yy′ = ‖u‖‖v‖cos θ : un nombre dont le signe décrit l'angle.
- Perpendiculaires ⟺ u · v = 0 ; colinéaires ⟺ xy′ − x′y = 0 (alignement, parallélisme).
- Milieu = moyennes des coordonnées ; parallélogramme ABCD ⟺ AB = DC.
- En physique, un bilan de forces est une somme vectorielle : ce chapitre sert double.
Le chapitre en 8 points
01 / 08
Un vecteur
Une flèche définie par sa direction, son sens et sa norme — pas par sa position.
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