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Dérivation et intégration

~13 min de lecture 8 sections

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Ce que tu vas travailler

Étudier les variations, calculer une intégrale et interpréter des données.

Prérequis : Fonctions usuelles, trigonométrie et limites.

Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.

La vitesse, c'est la dérivée de la position. L'accélération, la dérivée de la vitesse. La distance parcourue, l'aire sous la courbe de vitesse. Dériver et intégrer, ce n'est pas un exercice abstrait : c'est le langage dans lequel la physique est écrite.

Retiens le couple : dériver = pente, intégrer = aire. Tout le reste est technique.

Sommaire du cours

1La dérivée : une pente instantanée

La dérivée en un point, c'est la pente de la tangente : la direction que suit la courbe à cet endroit.

Sur la route, ton compteur n'affiche pas ta vitesse moyenne depuis le départ, mais ta vitesse à cet instant précis. La dérivée, c'est exactement ça : le nombre f′(a) mesure la pente de la courbe au point a — la pente de sa tangente.

\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

La dérivée est la limite du taux d'accroissement quand h devient minuscule.

Concrètement : on regarde la variation de f sur un intervalle minuscule autour de a, et on divise par la largeur de l'intervalle. Fais glisser le point — la tangente t'accompagne :

🔧 Fais glisser le point sur f(x) = x² : la tangente et sa pente f′(a) = 2a suivent.

a = 1f′(1) = 2 > 0 : la courbe monte

tangente : y = 2(x − 1) + 1

Amène a en 0 : la tangente devient horizontale — le signe de f′ raconte les variations de f.

Pour le futur médecin

Une vitesse de perfusion (mL/min), un débit cardiaque, la vitesse de croissance d'une population bactérienne : chaque « par minute » de la médecine est une dérivée. Comprendre f′, c'est savoir lire toutes les courbes de monitoring.

🧩 Pour f(x) = x², la dérivée vaut f′(x) = 2x. Que vaut la pente de la courbe au point x = 3 ?

Facile

2Les dérivées usuelles

La table à connaître par cœur — elle couvre la quasi-totalité des questions :

\displaystyle (x^n)' = n\,x^{n-1} \qquad (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}

\displaystyle (e^x)' = e^x \qquad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}

\displaystyle (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

La table de dérivation, à réciter les yeux fermés.

Deux cas particuliers utiles : la dérivée d'une constante est 0 (une horizontale ne monte pas), et (ax + b)′ = a (la pente d'une droite est… sa pente).

Une seule formule pour les puissances

(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ gère aussi les racines et les inverses : √x = x^(1/2) donne 1/(2√x), et 1/x = x⁻¹ donne −1/x². Une formule, trois usages.

🧩 Dérive f(x) = x⁵.

Facile

🧩 Que vaut la dérivée de √x en x = 4 ?

Intermédiaire

Le réflexe concours⏱ 15 s — les dérivées à connaître par cœur

1(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ : c'est la seule qu'on utilise vraiment tout le temps.
2Une constante se dérive en 0. Un k·f(x) se dérive en k·f′(x).
3(eˣ)′ = eˣ · (ln x)′ = 1/x · (sin x)′ = cos x · (cos x)′ = −sin x.

3Produit, quotient, composée : les trois règles

Pour dériver des expressions combinées, trois règles suffisent :

\displaystyle (u + v)' = u' + v' \qquad (k\,u)' = k\,u'

\displaystyle (uv)' = u'v + uv'

\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Somme : terme à terme. Produit et quotient : attention à l'ordre.

Pour les fonctions composées (une fonction dans une autre), on dérive l'extérieur puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur :

\displaystyle (e^u)' = u'\,e^u \qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \qquad (u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}

Le facteur u′ est la signature de la composée — c'est lui qu'on oublie.

Exemple complet : f(x) = e^(3x). L'intérieur est u = 3x, sa dérivée u′ = 3, donc f′(x) = 3e^(3x).

L'erreur classique du produit

(uv)′ n'est PAS u′v′. Vérifie sur x·x : la dérivée de x² est 2x, alors que u′v′ donnerait 1. La bonne règle croise les termes : u′v + uv′.

🧩 Dérive f(x) = x·eˣ.

Intermédiaire

🧩 Dérive f(x) = ln(x² + 1).

Concours

4Variations et extremums : le signe de f′

Le lien le plus utile de tout le chapitre : le signe de f′ raconte les variations de f.

\displaystyle f' > 0 \ \text{sur } I \;\Rightarrow\; f \ \text{croissante sur } I

\displaystyle f' < 0 \ \text{sur } I \;\Rightarrow\; f \ \text{décroissante sur } I

\displaystyle f'(x_0) = 0 \ \text{avec changement de signe} \;\Rightarrow\; \text{extremum en } x_0

Le tableau de signes de f′ EST le tableau de variations de f.

La méthode en trois pas : dériver, étudier le signe de f′, dresser le tableau de variations. Un extremum (sommet ou creux) apparaît là où f′ s'annule en changeant de signe — si le signe ne change pas, c'est un simple palier.

Le réflexe optimisation

« Quelle valeur maximise… ? » = « où f′ s'annule-t-elle en changeant de signe + ou − ? ». Doses optimales, aires maximales, coûts minimaux : toutes ces questions se résolvent par la même mécanique.

🧩 Étudie les variations de f(x) = x² − 4x.

Intermédiaire

Le réflexe concours⏱ 20 s — étudier les variations

1Calcule f′(x), puis cherche où elle s'annule.
2f′ > 0 → la fonction monte · f′ < 0 → elle descend.
3Un extremum se trouve là où f′ change de signe. Si elle s'annule sans changer de signe, ce n'en est pas un.

5Les primitives : la marche arrière

Une primitive de f est une fonction F dont la dérivée redonne f. C'est la table de dérivation lue à l'envers — avec une constante C, car les constantes disparaissent en dérivant :

\displaystyle \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \qquad \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C \qquad \int \cos x \, dx = \sin x + C \qquad \int \sin x \, dx = -\cos x + C

Chaque ligne se vérifie en dérivant le membre de droite.

La vérification qui sauve

Tu doutes d'une primitive ? Dérive-la. Si tu retombes sur f, c'est gagné. Cette vérification de dix secondes élimine les pièges de signes (sin/cos) et d'exposants.

🧩 Donne une primitive de f(x) = 3x².

Facile

🧩 Donne la primitive de f(x) = cos x qui vaut 2 en x = 0.

Intermédiaire

6L'intégrale : une aire

L'intégrale entre a et b, c'est l'aire comprise entre la courbe et l'axe : une accumulation.

L'intégrale de a à b accumule les valeurs de f — géométriquement, c'est l'aire entre la courbe et l'axe des x (comptée positivement au-dessus, négativement en dessous). Le théorème fondamental la relie aux primitives :

\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Le théorème fondamental : l'aire se calcule avec une primitive.

Étire la borne et vérifie que l'aire du triangle coïncide avec la formule :

🔧 Étire la borne b : l'aire sous f(x) = x se remplit, et vaut exactement F(b) − F(0) = b²/2.

borne b = 3

∫₀ᵇ x dx = b²/2 = 4,50

Vérification géométrique : triangle de base 3 et de hauteur 3 → aire = 3×3/2 = 4,50. L'intégrale, c'est bien une aire.

Trois propriétés pratiques : la linéarité (l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales), la relation de Chasles (∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ), et la valeur moyenne d'une fonction sur [a ; b] : (1/(b−a))·∫ₐᵇ f.

🧩 Calcule l'intégrale de x entre 0 et 2.

Facile

🧩 Calcule l'intégrale de 2x entre 1 et 3.

Concours

Vu au concoursL'aire sous la courbe

L'intégrale d'une vitesse entre deux instants donne la distance parcourue. C'est exactement la même idée que l'aire sous v(t) en cinématique — le concours adore faire le pont entre les deux matières.

7Dériver et intégrer en physique

Le trio position-vitesse-accélération est le terrain de jeu favori du concours :

\displaystyle v(t) = x'(t) \qquad a(t) = v'(t)

\displaystyle x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt

Dériver descend la chaîne, intégrer la remonte.

Dériver la position donne la vitesse ; dériver la vitesse donne l'accélération. Dans l'autre sens, l'aire algébrique sous la courbe de vitesse est le déplacement x(t₂) − x(t₁) — même sans connaître la formule de x(t). Si la vitesse reste positive, ce déplacement est aussi la distance parcourue ; si v change de signe, la distance vaut l'intégrale de |v|.

Pour le futur médecin

En pharmacocinétique, l'AUC (« area under the curve ») est l'aire sous la courbe de concentration d'un médicament au fil du temps : c'est une intégrale, et elle mesure l'exposition totale de l'organisme au produit. L'intégrale n'est pas un exercice abstrait — c'est un paramètre que tu liras sur les notices.

🧩 Un mobile a pour vitesse v(t) = 10t (m/s). Quelle distance parcourt-il entre t = 0 et t = 3 s ?

Intermédiaire

8Les erreurs fréquentes

Les erreurs qui coûtent des points

Dériver un produit terme à terme

(uv)′ ≠ u′v′ : la règle croise les termes, u′v + uv′.

Oublier le u′ dans une composée

(e^(3x))′ = 3e^(3x), pas e^(3x) : l'intérieur se venge toujours.

Confondre f et f′ dans le tableau

c'est le SIGNE de f′ qui donne le SENS de f.

Conclure « extremum » dès que f′ = 0

il faut aussi un CHANGEMENT de signe — sinon simple palier.

Oublier la constante C

une primitive n'est jamais unique : F(x) + C, et une condition fixe C.

Se tromper de sens sin/cos en intégrant

∫sin = −cos (le moins !) ; vérifie en dérivant.

Oublier que l'aire sous l'axe compte négativement

une intégrale peut être négative — c'est une aire ALGÉBRIQUE.

Points clés à retenir

f′(a) = pente de la tangente en a = vitesse instantanée de variation.
Table des dérivées usuelles + trois règles (produit, quotient, composée) = tout le calcul.
Composée : dériver l'extérieur, multiplier par u′ — le facteur qu'on oublie.
Signe de f′ → variations de f ; f′ nulle AVEC changement de signe → extremum.
Primitive = dérivée à l'envers, toujours + C ; vérifier en re-dérivant.
∫ₐᵇ f = F(b) − F(a) = aire algébrique sous la courbe.
Physique : dériver x → v → a ; intégrer pour remonter — l'aire sous v(t) est le déplacement (la distance si v ≥ 0).

Le chapitre en 8 points

Récap animé— Dérivation et intégration en 8 points

01 / 08

La dérivée

La pente de la tangente — la vitesse instantanée si f est une position.

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