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Fiche de synthèse — Dérivation et intégration

L'essentiel à mémoriser pour le concours d'entrée

Dérivées usuelles

$(x^n)' = n \, x^{n-1}$
Puissance
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Racine carrée
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
Inverse
$(e^x)' = e^x$
Exponentielle
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
Logarithme
$\begin{gathered} (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \end{gathered}$
Sinus et cosinus

Règles de dérivation

$(u + v)' = u' + v'$
Somme
$(ku)' = k \, u'$
Produit par un réel
$(uv)' = u'v + uv'$
Produit
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Quotient
$(e^u)' = u' e^u, \quad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$
Composées usuelles
$(u^n)' = n \, u' \, u^{n-1}$
Puissance d'une fonction

Tangente & variations

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Tangente en x = a
$f' > 0 \Rightarrow f \ \text{croissante}$
Croissance
$f' < 0 \Rightarrow f \ \text{décroissante}$
Décroissance
$f'(x_0) = 0$
Extremum (f′ change de signe)

Primitives usuelles (+ C)

$\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
Puissance
$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x|$
Inverse
$\int e^x \, dx = e^x$
Exponentielle
$\begin{gathered} \int \cos x \, dx = \sin x \\ \int \sin x \, dx = -\cos x \end{gathered}$
Cosinus et sinus

Intégrale définie

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$
Théorème fondamental
$A = \int_a^b f(x) \, dx$
Aire sous la courbe (f ≥ 0)
$\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$
Linéarité
$\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$
Relation de Chasles

Applications

$\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$
Valeur moyenne
$v(t) = x'(t), \quad a(t) = v'(t)$
Vitesse et position

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