Géométrie plane
Ce que tu vas travailler
Manipuler les expressions, résoudre un système et raisonner avec des vecteurs.
Prérequis : Calcul numérique, fractions et priorités opératoires.
Lis les explications, refais les exemples sur papier, puis cherche les exercices avant d’ouvrir leur correction. La fiche de synthèse, lorsqu’elle est disponible, sert à réviser après le cours.
Calculer la surface d'une brûlure, estimer le volume d'une tumeur, orienter une aiguille : la géométrie est partout en clinique. Au concours, elle sert surtout à décomposer un problème en figures simples.
Le réflexe à installer : faire un dessin. Une figure annotée résout la moitié des exercices avant même le premier calcul.
Sommaire du cours
1Aires et périmètres : les figures usuelles
Deux questions différentes
Le périmètre mesure la longueur du tour (en cm, en m…) ; l'aire mesure la surface couverte (en cm², en m²…). Si ton résultat d'aire est en unités simples, il y a une erreur quelque part.
Les formules à connaître par cœur :
| Figure | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| Rectangle | L × l | 2(L + l) |
| Triangle | (b × h)/2 | somme des 3 côtés |
| Parallélogramme | b × h | 2(a + b) |
| Trapèze | (B + b) × h / 2 | somme des 4 côtés |
| Disque (cercle) | πr² | 2πr |
Le point qui fait rater des questions : dans toutes ces formules, h est la hauteur, c'est-à-dire la distance perpendiculaire à la base — jamais le côté penché.
Le côté oblique n'est pas la hauteur
Dans un triangle ou un parallélogramme penché, la hauteur est le segment qui tombe à angle droit sur la base. Si l'énoncé donne le côté oblique, il faut souvent un Pythagore pour retrouver h.
Pour le futur médecin
La section d'une artère est un disque : A = πr². Conséquence directe : si une sténose divise le rayon par 2, la section est divisée par 4 — et le débit sanguin chute encore plus fort. Le carré du rayon, c'est de la physiologie cardiovasculaire avant d'être une formule.
🧩 Un trapèze a des bases B = 10 cm et b = 6 cm, et une hauteur h = 4 cm. Quelle est son aire ?
Facile🧩 Un disque a un périmètre de 10π cm. Quelle est son aire ?
Intermédiaire2Pythagore : le triangle rectangle
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Le côté le plus long, face à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse :
Manipule les deux côtés de l'angle droit et observe l'hypoténuse :
🔧 Règle les deux côtés de l'angle droit — l'hypoténuse se recalcule :
3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5
✨ Triplet pythagoricien : c tombe juste ! (3 ; 4 ; 5)
Le théorème fonctionne dans les deux sens :
- Sens direct : le triangle est rectangle → je peux calculer le 3ᵉ côté.
- Réciproque : si a² + b² = c² est vérifié par les trois côtés → le triangle est rectangle. C'est l'outil pour prouver un angle droit.
Quelques triplets pythagoriciens reviennent sans arrêt au concours : (3 ; 4 ; 5), (6 ; 8 ; 10), (5 ; 12 ; 13). Les reconnaître fait gagner une minute par question.
Réservé au triangle rectangle
Sans angle droit, Pythagore est faux. Pour un triangle quelconque, c'est la formule d'Al-Kashi (chapitre Trigonométrie) qui prend le relais.
🧩 Les côtés de l'angle droit mesurent 6 et 8. Que vaut l'hypoténuse ?
Facile🧩 Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Concours- 1Vérifie d'abord qu'il y a bien un angle droit. Sans lui, Pythagore ne s'applique pas.
- 2L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long.
- 3a² + b² = c², avec c l'hypoténuse. Si tu cherches un côté de l'angle droit : a² = c² − b².
3Thalès : parallèles et proportions
Le théorème de Thalès dit qu'une droite parallèle à un côté d'un triangle découpe un petit triangle agrandi/réduit du grand — tous les côtés sont multipliés par le même rapport k :
Concrètement : M sur [AB], N sur [AC], et (MN) parallèle à (BC). Les trois rapports sont égaux — chacun vaut le rapport de réduction k du petit triangle vers le grand.
Le bon réflexe d'écriture
Écris toujours les rapports dans le même sens : petit triangle sur grand triangle, en associant les côtés qui se correspondent (ceux qui partagent le même sommet A, puis les côtés parallèles). Une fois les trois rapports posés, un produit en croix termine la question.
La réciproque sert à prouver un parallélisme : si AM/AB = AN/AC (points alignés dans le même ordre), alors (MN) ∥ (BC).
🧩 Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] avec AM = 3 et AB = 5 ; (MN) ∥ (BC) et MN = 4,2. Que vaut BC ?
Intermédiaire4Le repère : distance et milieu
Dans un repère orthonormé, deux formules règlent presque toutes les questions de points :
La distance, c'est Pythagore déguisé
Entre A et B, on avance de Δx = x_B − x_A puis on monte de Δy = y_B − y_A : le segment AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés Δx et Δy. La formule de distance n'est rien d'autre que c = √(a² + b²).
Le milieu est encore plus simple : on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées — le point « équilibre » du segment.
🧩 A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calcule la distance AB et le milieu de [AB].
Facile- 1Distance entre deux points : √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). C'est Pythagore déguisé.
- 2Milieu : on fait la moyenne des coordonnées, ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2).
- 3Pente d'une droite : m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), la montée divisée par l'avancée.
5Les droites : pente et équation réduite
Toute droite non verticale s'écrit sous la forme :
- m est la pente (coefficient directeur) : de combien y monte quand x avance de 1. Positive → la droite monte ; négative → elle descend ; nulle → horizontale (y = p).
- p est l'ordonnée à l'origine : là où la droite coupe l'axe des y.
- Cas à part : une droite verticale s'écrit x = k et n'a pas de pente.
Les deux conditions à connaître par cœur :
Comment retenir la perpendicularité
La pente perpendiculaire est l'inverse ET l'opposé : m devient −1/m. Une pente de 2 donne une perpendiculaire de pente −1/2 ; une pente de −3 donne 1/3.
🧩 Donne l'équation de la droite passant par A(0 ; 2) et B(3 ; 8), puis la pente d'une droite qui lui est perpendiculaire.
Intermédiaire6Le cercle dans le repère
Un cercle est l'ensemble des points situés à une distance r d'un centre (a ; b). En écrivant cette distance avec la formule du repère, on obtient l'équation du cercle :
Déplace le centre et le rayon, et regarde les signes s'inverser dans l'équation :
🔧 Déplace le centre et le rayon — l'équation se réécrit toute seule :
(x − 1)² + (y + 1)² = 4
⚠️ Le membre de droite est r² = 4, pas r : « = 4 » signifie rayon 2.
Centre (1 ; -1) : les signes s'inversent dans l'équation — un centre en x = 1 donne (x − 1)².
Le piège du membre de droite
L'équation affiche r², jamais r. « (x − 1)² + (y + 2)² = 25 » décrit un cercle de rayon 5, pas 25. Et un centre en x = −3 s'écrit (x + 3)² : les signes s'inversent.
Au concours, l'équation arrive souvent développée. Le réflexe : compléter les carrés pour retrouver centre et rayon.
🧩 Quel est le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 ?
ConcoursVu au concoursThalès en configuration
La configuration reconnue vaut la moitié des points : deux droites sécantes coupées par deux parallèles. Écris alors les rapports dans le même ordre pour les deux triangles, et ne mélange jamais les côtés.
7Degrés et radians
Le radian est l'unité « naturelle » des angles : un tour complet vaut 2π radians. Toutes les conversions découlent d'une seule égalité :
| Degrés | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
Pour convertir, un simple produit en croix avec 180° = π. La formule de l'arc L = rθ explique pourquoi le radian est si pratique — mais elle exige θ en radians, pas en degrés.
🧩 Convertis 135° en radians.
Facile8Les erreurs fréquentes
Les erreurs qui coûtent des points
Prendre le côté oblique pour la hauteur
la hauteur est PERPENDICULAIRE à la base — Pythagore pour la retrouver si besoin.
Appliquer Pythagore sans angle droit
il exige un triangle rectangle ; sinon, c'est Al-Kashi.
Confondre r et r² dans l'équation du cercle
« = 16 » signifie rayon 4 ; et un centre en −3 donne (x + 3)².
Mélanger les rapports de Thalès
toujours petit/grand dans le même ordre, côtés correspondants.
Croire que perpendiculaires ⇒ m₁ = −m₂
la vraie condition est m₁ × m₂ = −1 : inverse ET opposé.
Rendre une aire en unités simples
une aire est en cm², un périmètre en cm — l'unité trahit l'erreur.
Utiliser L = rθ avec θ en degrés
la formule de l'arc exige des radians.
Points clés à retenir
- Aires usuelles : triangle b·h/2, trapèze (B + b)·h/2, disque πr² ; périmètre du cercle 2πr.
- Pythagore (et sa réciproque) ne vivent que dans le triangle rectangle ; triplets (3;4;5), (6;8;10), (5;12;13).
- Thalès = proportionnalité créée par une parallèle ; sa réciproque prouve le parallélisme.
- Distance AB = √(Δx² + Δy²) ; milieu = moyennes des coordonnées.
- Droites : y = mx + p ; parallèles m₁ = m₂ ; perpendiculaires m₁·m₂ = −1.
- Cercle : (x − a)² + (y − b)² = r² — compléter les carrés pour lire centre et rayon.
- 180° = π rad ; arc L = rθ avec θ en radians.
Le chapitre en 8 points
01 / 08
Aires
Triangle : b·h/2 ; disque : πr² ; trapèze : (B + b)·h/2. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base.
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