Limites, continuité et asymptotes

1Limites à gauche et à droite

La limite en $a$ existe lorsque les limites à gauche et à droite existent et coïncident. Pour $f(x)=1/x$, la limite en zéro à droite vaut $+\infty$, et celle à gauche vaut $-\infty$ : il n'existe donc pas une limite commune en zéro. Sur un graphique, approche le point en suivant la courbe, de chaque côté. Un point isolé indiquant $f(a)$ peut être situé ailleurs que la valeur vers laquelle tend la courbe.

2Calculer une limite finie

Pour un polynôme, on remplace directement $x$ par $a$. Pour un quotient, on peut le faire lorsque le dénominateur ne s'annule pas. Une forme $0/0$ ne signifie ni zéro ni l'infini : elle demande une transformation. Exemple : pour $x\ne2$, $(x^2-4)/(x-2)=x+2$. La limite en 2 vaut donc 4, même si le quotient initial n'est pas défini en 2. Pour les racines, multiplier par l'expression conjuguée peut aider : $(\sqrt{1+x}-1)/x=1/(\sqrt{1+x}+1)$ pour $x\ne0$. La limite en zéro vaut $1/2$.

3À l'infini et près d'un dénominateur nul

Dans un quotient de polynômes à l'infini, compare les termes de plus haut degré. Ainsi $(3x^2+1)/(x^2-4)$ tend vers 3. Si le degré du numérateur est inférieur, la limite est zéro. Une limite infinie en une abscisse finie signale une asymptote verticale. Une limite finie $L$ à l'infini donne une asymptote horizontale $y=L$. Vérifie les signes avant d'annoncer $+\infty$ ou $-\infty$.

4Continuité et dérivabilité

Une fonction est continue en $a$ si elle est définie en $a$ et si sa limite en $a$ vaut $f(a)$. La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse : $|x|$ est continue en zéro, sans y être dérivable.

5Exemple guidé : une fonction définie par morceaux

On définit $f(x)=ax+1$ si $x<2$, et $f(x)=x^2-1$ si $x\ge2$. Quelle valeur de $a$ rend la fonction continue en 2 ? Il faut comparer trois éléments : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur au point.

À gauche, la limite vaut $2a+1$. À droite, elle vaut $2^2-1=3$. La définition au point utilise la deuxième branche, donc $f(2)=3$. La continuité exige $2a+1=3$, d'où $a=1$. Les deux branches sont continues sur leurs domaines respectifs ; le raccord en 2 était donc le seul point à vérifier.

Ce raccord continu n'est pas forcément dérivable : avec $a=1$, la pente à gauche est 1, tandis que la dérivée de la branche droite en 2 vaut 4. Une fonction peut donc se rejoindre sans trou et présenter un angle.

6Lire une asymptote avec son signe

Pour $g(x)=1/(x-2)$, le numérateur est positif. À droite de 2, le dénominateur est positif et très petit : le quotient tend vers $+\infty$. À gauche, il est négatif et très petit en valeur absolue : le quotient tend vers $-\infty$. Écrire seulement « le dénominateur tend vers zéro » ne suffit pas à conclure.

7Exercices corrigés