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Fiche de synthèse — Algèbre

L'essentiel à mémoriser pour le concours d'entrée

Produits remarquables

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Carré d'une somme
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Carré d'une différence
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
Somme × différence
$\begin{gathered} (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b \\ +\, 3ab^2 + b^3 \end{gathered}$
Cube d'une somme
$\begin{gathered} a^3 - b^3 = \\ (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{gathered}$
Différence de cubes
$\begin{gathered} a^3 + b^3 = \\ (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{gathered}$
Somme de cubes

Factoriser · les 4 réflexes

$ab + ac = a(b+c)$
1. Mise en évidence
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
2. Différence de carrés
$\begin{gathered} ax^2+bx+c = \\ a(x-x_1)(x-x_2) \end{gathered}$
3. Trinôme, via ses racines
$\begin{gathered} ax+ay+bx+by \\ = (a+b)(x+y) \end{gathered}$
4. Groupement de termes

Puissances

$a^m \, a^n = a^{m+n}$
Produit
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Quotient
$(a^m)^n = a^{mn}$
Puissance de puissance
$(ab)^n = a^n \, b^n$
Produit à la puissance n
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
Quotient à la puissance n
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Exposant négatif
$a^{0} = 1 \quad (a \neq 0)$
Exposant nul

Racines

$\sqrt{a}\,\sqrt{b} = \sqrt{ab}$
Produit de racines
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
Quotient de racines
$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
Racine = exposant fractionnaire
$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
Exposant fractionnaire général
$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$
Rationaliser le dénominateur
$\sqrt{a^2} = |a|$
Piège classique

Fractions algébriques

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$
Même dénominateur
$\begin{gathered} \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd} \end{gathered}$
Dénominateurs différents
$\dfrac{a/b}{c/d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
Diviser = multiplier par l'inverse
$\text{dénominateur} \neq 0$
Condition d'existence

Valeur absolue

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$
Définition
$|x| = a \iff x = \pm a \;\; (a \geqslant 0)$
Équation
$|x| < a \iff -a < x < a$
Inéquation « inférieur »
$\begin{gathered} |x| > a \iff \\ x < -a \;\text{ ou }\; x > a \end{gathered}$
Inéquation « supérieur »

Second degré · ax² + bx + c = 0

$\Delta = b^2 - 4ac$
Discriminant
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Solutions
$\Delta>0:2 \quad \Delta=0:1 \quad \Delta<0:0$
Nombre de solutions
$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
Racine double si Δ = 0
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
Somme et produit des racines
$a(x-x_1)(x-x_2)$
Forme factorisée

Forme canonique & parabole

$f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$
Forme canonique
$\alpha = -\dfrac{b}{2a}$
Abscisse du sommet
$\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}$
Ordonnée du sommet
$a>0 : \text{minimum} \quad a<0 : \text{maximum}$
Sens de la parabole
$x = \alpha$
Axe de symétrie

Signe & inéquations

$\begin{gathered} \text{signe de } a \text{ partout,} \\ \text{sauf entre les racines} \end{gathered}$
Signe du trinôme
$\text{signe de } a \text{ sur } \mathbb{R}$
Si Δ < 0
$\begin{gathered} a < b \;\text{ et }\; k<0 \\ \Rightarrow ka > kb \end{gathered}$
Multiplier par un négatif
$\text{passer par un tableau de signes}$
Produit / quotient

Systèmes · 2 équations, 2 inconnues

$\text{isoler une inconnue, remplacer}$
Substitution
$\text{additionner pour éliminer}$
Combinaison
$\begin{gathered} \text{1 couple, une infinité} \\ \text{ou aucune} \end{gathered}$
Nombre de solutions
$\text{réinjecter dans les 2 équations}$
Vérification

Logarithmes

$\log(xy) = \log x + \log y$
Log d'un produit
$\log\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log x - \log y$
Log d'un quotient
$\log(x^n) = n \, \log x$
Log d'une puissance
$\log 1 = 0, \quad \ln e = 1$
Valeurs à connaître
$\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$
Changement de base
$\ln x \text{ existe si } x > 0$
Domaine

Exponentielle & équations

$a^{x+y} = a^x \, a^y$
Somme d'exposants
$\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x$
Fonctions réciproques
$a^x = a^y \iff x = y$
Même base
$x = \dfrac{\ln b}{\ln a}$
Résoudre aˣ = b
$e^x > 0 \quad \text{pour tout } x$
Signe

Proportions & pourcentages

$\times \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
Augmenter de p %
$\times \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$
Diminuer de p %
$\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$
Taux de variation
$\text{on multiplie les coefficients}$
Variations successives
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc$
Produit en croix

Les pièges du concours

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$
Le carré ne se distribue pas
$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$
La racine non plus
$\log(x+y) \neq \log x + \log y$
Ni le logarithme
$\sqrt{a^2} = |a| \neq a$
Toujours la valeur absolue
$\begin{gathered} \text{simplifier par } x \\ \text{suppose } x \neq 0 \end{gathered}$
Diviser par une inconnue

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