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Fiche de synthèse — Trigonométrie

L'essentiel à mémoriser pour le concours d'entrée

Triangle rectangle (SOH-CAH-TOA)

$\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
Sinus
$\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
Cosinus
$\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Tangente

Identités fondamentales

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
Relation fondamentale
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
Tangente
$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
Avec la tangente

Valeurs remarquables

$x = 0, \; \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{\pi}{4}, \; \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{\pi}{2}$
Angles
$0, \; \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; 1$
Sinus
$1, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \; \dfrac{1}{2}, \; 0$
Cosinus
$0, \; \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \; 1, \; \sqrt{3}, \; \text{n.d.}$
Tangente

Angles associés

$\begin{gathered} \sin(-x) = -\sin x \\ \cos(-x) = \cos x \end{gathered}$
Opposé
$\begin{gathered} \sin(\pi - x) = \sin x \\ \cos(\pi - x) = -\cos x \end{gathered}$
Supplémentaire
$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
Complémentaire

Addition & duplication

$\begin{gathered} \cos(a+b) \\ = \cos a \cos b - \sin a \sin b \end{gathered}$
Cosinus d'une somme
$\begin{gathered} \sin(a+b) \\ = \sin a \cos b + \cos a \sin b \end{gathered}$
Sinus d'une somme
$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$
Duplication (sinus)
$\begin{gathered} \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \\ = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \end{gathered}$
Duplication (cosinus)

Triangle quelconque

$\dfrac{a}{\sin \hat{A}} = \dfrac{b}{\sin \hat{B}} = \dfrac{c}{\sin \hat{C}}$
Loi des sinus
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \hat{A}$
Al-Kashi (Pythagore généralisé)
$A = \dfrac{1}{2} \, b c \sin \hat{A}$
Aire avec un angle

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