Statique, moments et gravitation

1Deux conditions d'équilibre

Dans un référentiel inertiel, l'équilibre statique exige une somme vectorielle des forces nulle et une somme des moments nulle. Dans un problème plan, écris $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ et $\sum M_O=0$. Le moment d'une force autour d'un axe vaut en valeur absolue $M=F d_\perp$, avec $d_\perp$ la distance perpendiculaire entre l'axe et la ligne d'action. Son unité est N·m. Choisis un sens de rotation positif avant d'attribuer les signes.

2Leviers et couples

Une force de 20 N appliquée perpendiculairement à 0,30 m de l'axe produit un moment de 6 N·m. Une force de 60 N à 0,10 m peut l'équilibrer si son moment est opposé. Un couple est formé de deux forces parallèles, opposées et de même intensité, dont les lignes d'action sont distinctes. La résultante est nulle, mais le moment du couple vaut $Fd$, où $d$ est leur distance. Un couple peut donc faire tourner sans accélérer le centre de masse.

3Centre de gravité et stabilité

Dans un champ uniforme, le poids d'un solide s'applique à son centre de gravité. Si la verticale passant par ce centre sort de la base de support, l'objet peut basculer. Un équilibre est stable si une petite perturbation engendre une tendance au retour ; il est instable si elle amplifie l'écart. Abaisser le centre de gravité et élargir la base favorisent généralement la stabilité.

4Gravitation universelle

Deux masses ponctuelles s'attirent avec $F=Gm_1m_2/r^2$. La distance $r$ sépare leurs centres, et les deux forces ont la même intensité, avec des sens opposés. À l'extérieur d'un astre sphérique de masse $M$, $g=GM/r^2$. À l'altitude $h$, on emploie $r=R+h$, et non $h$ seul. La masse d'un objet reste la même quand son poids change.

5Exemple guidé : une poutre sur deux appuis

Une poutre horizontale de 4 m, de poids négligeable, repose sur un appui A à gauche et B à droite. Une charge de 100 N est placée à 1 m de A. Les réactions verticales inconnues sont $R_A$ et $R_B$.

La somme des forces verticales donne $R_A+R_B=100$. Choisis ensuite A comme point de calcul des moments : la réaction $R_A$ passe par A, son moment y est nul. Avec le sens antihoraire positif, l'équation est $4R_B-1\times100=0$. Ainsi $R_B=25$ N puis $R_A=75$ N.

La charge étant plus proche de A, une réaction plus grande en A est cohérente. Si la poutre avait un poids non négligeable et était homogène, il faudrait ajouter son poids au milieu dans les deux bilans. Oublier ce poids changerait les réactions.

6Pourquoi choisir le point des moments ?

Les conditions d'équilibre doivent être satisfaites autour de n'importe quel point. Choisir un point traversé par une force inconnue annule son moment et simplifie le calcul. Ce choix est une astuce algébrique ; il ne signifie pas que la force a disparu du bilan de translation.