Projectiles et énergie élastique

1Décomposer la vitesse initiale

Pour une vitesse initiale $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale, $v_{0x}=v_0\cos\alpha$ et $v_{0y}=v_0\sin\alpha$. Avec l'axe vertical orienté vers le haut : $a_x=0$ et $a_y=-g$. Les positions sont $x=x_0+v_0\cos\alpha\,t$ et $y=y_0+v_0\sin\alpha\,t-gt^2/2$. Les vitesses sont $v_x=v_0\cos\alpha$ et $v_y=v_0\sin\alpha-gt$.

2Sommet, temps de vol et portée

Au sommet, seule la composante verticale de la vitesse est nulle. Le projectile continue à avancer horizontalement. Le temps pour atteindre le sommet est $t_s=v_0\sin\alpha/g$ si la composante initiale verticale est positive. Si départ et arrivée sont à la même hauteur, le temps de vol non nul est $T=2v_0\sin\alpha/g$ et la portée $R=v_0^2\sin(2\alpha)/g$. Si les hauteurs diffèrent, résous l'équation verticale avec la hauteur d'arrivée ; cette formule de portée ne s'applique plus.

3Un ressort emmagasine de l'énergie

Dans son domaine élastique, un ressort idéal exerce une force de rappel $F_x=-kx$, où $x$ est l'allongement algébrique et $k$ la raideur en N/m. Son énergie potentielle élastique est $E_e=kx^2/2$. Sans frottement, la somme des énergies cinétique, gravitationnelle et élastique se conserve. Sur une table horizontale, un ressort comprimé de $x$ peut donner à une masse $m$ une vitesse telle que $kx^2/2=mv^2/2$ au passage par la longueur naturelle.

4Exemple guidé : du lancement à la réception

Un projectile est lancé du sol à 20 m/s sous un angle de 30°, avec $g=10$ m/s². On néglige l'air. Les composantes initiales sont $v_{0x}=10\sqrt3$ m/s et $v_{0y}=10$ m/s. Les équations deviennent $x(t)=10\sqrt3t$ et $y(t)=10t-5t^2$.

Pour le retour au sol, résous $y(t)=0$ : $5t(2-t)=0$. La solution $t=0$ correspond au départ, et $t=2$ s à la réception. La portée vaut alors $20\sqrt3$ m. Au sommet, $v_y=10-10t=0$, donc $t=1$ s et $y=5$ m. La vitesse au sommet n'est pas nulle : sa composante horizontale vaut toujours $10\sqrt3$ m/s.

Si le projectile était reçu sur une plateforme à une autre hauteur, il faudrait remplacer zéro par cette hauteur dans l'équation verticale. La formule de portée au même niveau ne serait plus valable.

5Relier les deux descriptions

Le gain de hauteur transforme de l'énergie cinétique en énergie potentielle gravitationnelle. Au sommet, seule l'énergie associée à la composante verticale initiale a été convertie. La composante horizontale conserve son énergie dans ce modèle. Cette observation permet de vérifier la hauteur obtenue avec les équations horaires.