Résistivité et courant alternatif

1La résistance d'un fil : loi de Pouillet

Un fil homogène de longueur $L$, de section constante $S$ et de résistivité $\rho$ possède une résistance $R=\rho L/S$. La résistivité s'exprime en Ω·m et dépend du matériau et de la température. Allonger le fil augmente sa résistance. Doubler son diamètre multiplie sa section par quatre et divise sa résistance par quatre, à longueur et température constantes. Convertis les mm² en m² : 1 mm² vaut $10^{-6}$ m².

2Courant continu et alternatif

Un signal continu idéal est constant. Un signal alternatif change de signe. Pour une tension sinusoïdale : $u(t)=U_{\max}\sin(\omega t+\varphi)$, avec $\omega=2\pi f$ et $T=1/f$. La valeur moyenne sur une période complète est nulle pour une sinusoïde sans décalage vertical. Cela n'empêche pas le courant de chauffer une résistance : la puissance dépend du carré du courant.

3Valeurs efficaces

La valeur efficace est celle du courant continu qui dissiperait la même puissance moyenne dans une résistance identique. Pour une sinusoïde, $U_{eff}=U_{\max}/\sqrt2$ et $I_{eff}=I_{\max}/\sqrt2$. Dans une résistance idéale, courant et tension sont en phase. La puissance moyenne est $P=U_{eff}I_{eff}=RI_{eff}^2=U_{eff}^2/R$. Ces égalités ne doivent pas être appliquées sans précaution à un circuit où courant et tension sont déphasés.

4Méthode de résolution

Identifie d'abord si l'énoncé donne une valeur maximale ou efficace. Calcule la résistance éventuelle avec la géométrie du fil. Utilise ensuite la loi d'Ohm avec des valeurs de même nature : efficaces entre elles, ou instantanées entre elles.

5Exemple guidé : puissance dissipée dans une résistance

Une résistance idéale de 50 Ω est alimentée par une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V. La loi d'Ohm donne $I_{eff}=100/50=2$ A. La puissance moyenne dissipée vaut $P=100\times2=200$ W.

La tension maximale vaut $100\sqrt2$ V et le courant maximal $2\sqrt2$ A. Leur produit est 400 W : c'est ici la puissance instantanée maximale, pas la puissance moyenne. En effet, $p(t)=u(t)i(t)=400\sin^2(\omega t)$, et la moyenne de $\sin^2$ sur une période vaut $1/2$.

Pendant 30 secondes, l'énergie dissipée est $E=P\Delta t=200\times30=6000$ J. Une puissance est un débit d'énergie ; une énergie dépend aussi de la durée. Les watts et les joules ne sont pas interchangeables.

6Un fil n'est pas défini par sa seule longueur

Dans $R=\rho L/S$, la section d'un fil circulaire est $S=\pi d^2/4$. Augmenter le diamètre de 20 % multiplie la section par $1,2^2=1,44$ et divise la résistance par 1,44. Il ne suffit pas de diminuer la résistance de 20 % : la dépendance géométrique est quadratique.